Question

已知椭圆C的标准方程为：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，32），且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆

已知椭圆C的标准方程为：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，32），且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）长轴上任意一点S（s，0），（-a＜s＜a）作两条互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中点分别为M、N，证明：直线MN恒过定点．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵点P（1，

3

2

）在椭圆上，∴

1

a2

+

9

4b2

＝1，
又∵离心率为

1

2

，∴e=

c

a

＝

1

2

，∴a=2c，
∴4a²-4b²=a²，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，
则直线CD的方程为x=-

1

m

y+s，
联立

x2 4 + y2 3 ＝1 x＝my+s

，得（3m²+4）y²+6smy+3s²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2＝?

6sm

3m2+4

，y1y2＝

3s2?12

3m2+4

，
∴x₁+x₂=（my₁+s）（my₂+s）
=m²y₁y₂+ms（y₁+y₂）+s²
=

4s2?12m2

3m2+4

，
由中点坐标公式得M（

2s2?6m2

3m2+4

，-