Question

（2011?河池）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C．（1）求直线l的解析式；（2

（2011?河池）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）设直线L解析式为y=kx+b，
将A（6，0）和B（0，12）代入，得：

0＝6k+b 12＝b

，
解得：

k＝?2 b＝12

，
∴直线L解析式为y=-2x+12；

（2）解方程组：

y＝?2x+12 y＝x

，
得：

x＝4 y＝4

，
∴点C的坐标为（4，4），
∴S_△COP=

1

2

x×4=2x；
∵PD∥l，
∴

CD

OC

=

AP

OA

，
而

CD

OC

=

S

S △COP

，
∴

S

S △COP

=

AP

OA

，
即

S

2x

=

6?x

6

，
∴△PCD的面积S与x的函数关系式为：
S=-

1

3

x²+2x，
∵S=-

1

3

（x-3）²+3，
∴当x=3时，S有最大值，最大值是3．

（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形，
∵点C的坐标为（4，4），A（6，0），
根据P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A时分别求出即可，
当P₁C=CA时，P₁（2，0），
当P₂A=AC时，P₂（6-2

5

，0），
当P₃A=AC时，P₃（6+2

5

，0），
当P₄C=P₄A时，P₄（1，0），
∴点P的坐标分别为：
P₁（2，0），P₂（6-2

5

，0），P₃（6+2

5

，0），P₄（1，0）．