Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=2，且f（x+1）-f（x）=2x-1对任意x∈R都成立．（1）求函数f（x）的解析式

已知二次函数f（x）满足f（0）=2，且f（x+1）-f（x）=2x-1对任意x∈R都成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求g（x）=lg（f（x））的值域．

Answer 1

（1）设函数f（x）=ax²+bx+c，
则由f（0）=2得，c=2；
由f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）
=2ax+a+b=2x-1对任意x恒成立，
则2a=2，a+b=-1；
则a=1，b=-2；
则f（x）=x²-2x+2．
（2）∵f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
∴lg（f（x））≥lg1=0；
则g（x）=lg（f（x））的值域为[0，+∞）．