Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1-x≤f（x），且f（x）=f（1-x）．（Ⅰ）求

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1-x≤f（x），且f（x）=f（1-x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若?x∈[-2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），f（0）=1，
∴c=1，
又对任意x∈R，f（x）=f（1-x）
∴f（x）图象的对称轴为直线x＝

1

2

，
则?

b

2a

＝

1

2

，∴a=-b，
又对任意x∈R都有1-x≤f（x），即ax²-（a-1）x≥0对任意x∈R都成立，
∴

a＞0 △＝(a?1)2≤0

，
故a=1，b=-1
∴f（x）=x²-x+1；                      
（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x²+x=m²-m，
由题意知方程x²+x=m²-m在x∈[-2，2]有解．
令g(x)＝x2+x＝(x+

1

2

)2?

1

4

，
∴g（x）_min=g（-

1

2

）=-

1

4

，g（x）_max=g（2）=6，
∴?

1

4

≤m²-m≤6，
∴

m2?m≤6 m2?m≥? 1 4

?

?2≤m≤3 m∈R

??2≤m≤3，
所以满足题意的实数m取值范围[-2，3]．