Question

量子力学算符方程的一道证明题。

e^A*e^B=e^(A+B)*e^(1/2*[A,B]),我知道在commutive的情况下，e^(1/2*[A,B])就是0了。但是如何推导arbitrary的A,B两个operator满足以上关系呢？hint我也不知道怎么用。

Answer 1

据我所知，只有当A和B都和[A,B]对易时，才有(a)式和hint中的[A,G]对易式。如果满足，则
dF/dt=[A+e^(At)Be^(-At)]F
[B, e^(At)]=[B, At]e^(At)
[e^(At), B]=t[A, B]e^(At)
e^(At)B=Be^(At)+t[A, B]e^(At)
代入得
dF/dt=[A+B+t[A, B]]F
解得：F=F(0)exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]
取t=0得F(0)=1
因此F=exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]
再取t=1,(a)得证。