Question

微积分，求解过程

求解过程，详细，用一个字母代替，换元

Answer 1

∫ dx/[x√(x+1)]
=2∫ (1/x) d√(x+1)
=2√(x+1) /x +2∫ √(x+1) /x^2 dx
let
x= (tany)^2
dx = 2tany(secy)^2 dy

∫ √(x+1) /x^2 dx
=∫ [secy /(tany)^4] [2tany(secy)^2 dy]
=2∫ (cscy)^3dy
consider
∫ (cscy)^3dy = -∫ cscy.dcoty
= - cscy.coty -∫ (coty)^2. cscy.dy
2∫ (cscy)^3dy =- cscy.coty +∫ cscy.dy
=- cscy.coty +ln|cscy-coty|
=-√[(x+1)/x] + ln|√ [(x+1)/x] - √(1/x)|

∫ dx/[x√(x+1)]
=2√(x+1) /x +2∫ √(x+1) /x^2 dx
=2√(x+1) /x +4∫ (cscy)^3dy
=2√(x+1) /x +2[-√[(x+1)/x] + ln|√ [(x+1)/x] - √(1/x)| ] + C

Answer 2

用第二类换元积分法。令√1+x=t,那么x=t²-1,dx=2tdt,
原式=∫2tdt/[(t²-1)t]=2∫dt/(t²-1)=2∫dt/（t-1)(t+1)=∫[1/(t-i)-1/(t+1）]dt=ln| （t-1）/(t+1) |
∵√1+x=t,∴ln| （t-1）/(t+1) |=ln|(√1+x-1)/(√1+x+1 |