Question

如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上

如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵该抛物线过点C（0，-2）， ∴可设该抛物线的解析式为y=ax 2 +bx-2． 将A（4，0），B（1，0）代入y=ax 2 +bx-2， 得 16a+4b-2=0 a+b-2=0 ， 解得： a=- 1 2 b= 5 2 ． ∴该抛物线的解析式为y=- 1 2 x 2 + 5 2 x-2． （2）存在． 如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为- 1 2 t 2 + 5 2 t-2． 过D作y轴的平行线交AC于E． 设直线AC的解析式为：y=mx+n， 则 n=-2 4m+n=0 ， 解得： m= 1 2 n=-2 ， 由题意可求得直线AC的解析式为y= 1 2 x-2． ∴E点的坐标为（t， 1 2 t-2）． ∴DE=- 1 2 t 2 + 5 2 t-2-（ 1 2 t-2）=- 1 2 t 2 +2t． ∴S △DCA =S △CDE +S △ADE = 1 2 ×DE×OA= 1 2 ×（- 1 2 t 2 +2t）×4=-t 2 +4t=-（t-2） 2 +4． ∴当t=2时，S 最大 =4． ∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4． （3）存在． 如图2，设P（m，- 1 2 m 2 + 5 2 m-2），则m＞1． Ⅰ．当1＜m＜4时， 则AM=4-m，PM=- 1 2 m 2 + 5 2 m-2． 又∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当 AM PM = AO CO = 2 1 时，△APM ∽ △ACO． ∴4-m=2（- 1 2 m 2 + 5 2 m-2），解得m 1 =2，m 2 =4（舍去）． ∴P 1 （2，1）． ②当 AM PM = CO AO = 1 2 时，△APM ∽ △CAO． ∴2（4-m）=- 1 2 m 2 + 5 2 m-2，解得m 3 =4，m 4 =5（均不合题意，舍去）． ∴当1＜m＜4时，P 1 （2，1）． Ⅱ．当m＞4时，同理可求P 2 （5，-2）． 综上所述，符合条件的点P为P 1 （2，1）和P 2 （5，-2）．