Question

在数列a n 中，已知a 1 =1，a n =2a n-1 +n-2，n∈N * ，n≥2．（1）求证：数列a n +n是等比数列； &n

在数列a n 中，已知a 1 =1，a n =2a n-1 +n-2，n∈N * ，n≥2．（1）求证：数列a n +n是等比数列； （2） 求数列 { a n 2 n } 的前n项和为S n ．

Answer 1

（1）∵a n =2a n-1 +n-2， ∴a n +n=2（a n-1 +n-1）     ∴数列{a n +n}是以a 1 +1=2为首项，以2为公比的等比数列； （2）有（1）知：a n +n=2 n 即：a n =2 n -n， ∴ a n 2 n =1- n 2 n ∴ S n =(1- 1 2 )+(1- 2 2 2 )+(1- 3 2 3 )+… +(1- n 2 n ) = n-( 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 +…+ n   2 n ) 令 T n = 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 2 +…+ n 2 n ① 则 1 2 T n = 1 2 1 +( 1 2 2 + 1 2 3 +…+  1 2 n )- n 2 n+1 ② ①-②得： 1 2 T n = 1 2 1 +( 1 2 2 + 1 2 3 +…+ 1 2 n )- n 2 n+1 = 1 2 [1- ( 1 2 ) n ] 1- 1 2 - n 2 n+1 =1- 1 2 n - n 2 n+1 ． ∴ T n =2- 1 2 n+1 - n 2 n ， ∴ S n =n-2+ 1 2 n+1 + n 2 n ．