Question

如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=" " 3

如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=" " 3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.

Answer 1

（1）AH∶HD=3∶1（2）证明略

(1) ∵ = =2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF 平面EFGH， 且平面EFGH∩平面ACD=GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH. ∴ = =3,即AH∶HD=3∶1. （2）证明 ∵EF∥GH,且 = ， = ， ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH 平面ABD， P∈FG，FG 平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.