Question

（2014?泰州三校一模）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△O

（2014?泰州三校一模）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？这时⊙F和直线BO的位置关系如何？请给予说明．（4）若设AC=a，G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连接HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用a表示．

Answer 1

（1）全等．理由如下：
：∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，

OB＝AB   ∠OBC＝∠ABD BC＝BD

，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=

OE

OA

，
则OE=

3

，点E坐标为（0，-

3

），A（1，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得：

k+b＝0 b＝? 3

，
解得：

k＝ 3 b＝? 3

，
所以直线AE的解析式为y=

3

x-

3

．
综上所述，随着C点的变化，直线AE的位置不变．所以直线AE的解析式为y=

3

x-

3

；

（3）当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；这时直线BO与⊙F相切．
证明如下：根据题意画出图形，如图所示：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
则EF与EA所在的直线重合，∴点F为DE与BC的交点，
又F为BC中点，∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，
∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；
这时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直线BO与⊙F相切；


（4）根据题意画出图形，如图所示：
由点B，点C及点G在圆F的圆周上得：FB=FC=FG，即FG=

1

2

BC，
∴△CBG为直角三角形，又△BCD为等边三角形，
∴BG为∠CBD的平分线，即∠CBG=30°，
过点B作x轴的垂直，交x轴于点M，由△OAB为等边三角形，
∴M为OA中点，即MA=

1

2

，BM=

3

2

，MC=AC+AM=a+

1

2

，
在Rt△BCM中，根据勾股定理得：BC=

BM2+MC2

=

a2+a+1

，
∵DF垂直平分BC，
∴B和C关于DF对称，
∴HC=HB，
则HC+HG=BG，此时BG最小，
在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=

1

2

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