Question

已知关于x，y的方程x2+y2-2x-4y+m=0（Ⅰ）当m为何值时，此方程表示圆；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从点P

已知关于x，y的方程x2+y2-2x-4y+m=0（Ⅰ）当m为何值时，此方程表示圆；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从点P（3，1）射出的光线，经x轴于点Q（35，0）处反射后，与圆相切，求圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，…（3分）
当5-m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．…（5分）
（Ⅱ）P关于x轴的对称点为P′（3，-1），由对称性知直线P′Q与圆相切．…（6分）
∵点Q（

3

5

，0），∴直线P′Q的方程为

y?0

?1?0

＝

x? 3 5

3? 3 5

，即5x+12y-3=0，…（7分）
圆心C（1，2）到直线P′Q距离为d＝

|5+24?3|

52+122

＝2                  …（10分）
∵直线P′Q与圆相切，∴d=r
∴2＝

5?m

，解得m=1                …（12分）
所以圆的方程为：（x-1）²+（y-2）²=4                                       …（13分）