设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值为0,求a的值;(II)若f(x
设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值为0,求a的值;(II)若f(x)在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=...
设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值为0,求a的值;(II)若f(x)在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f(x),α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范围.
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(Ⅰ) 当?
≤1,即:a≥?
时,f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0.
故 a=-6(舍去),或a=-1;
当?
>1,即:a<?
时,f(x)max=f(0)=a2+3a=0.
故a=0(舍去)或a=-3.
综上得:a的取值为:a=-1或a=-3. (5分)
(Ⅱ) 若f(x)在[α,β]上递增,则满足:(1)?
≤α;(2)
,
即方程f(x)=x在[?
,+∞)上有两个不相等的实根.
方程可化为x2+2ax+a2+3a=0,设g(x)=x2+2ax+a2+3a,
则
,解得:?
≤a<0. (5分)
若f(x)在[α,β]上递减,则满足:
(1)?
≥β;(2)
.
由
得,两式相减得(α-β)(α+β)+(2a+1)(α-β)=β-α,即α+β+2a+1=-1.
即β=-α-2a-2.
∴α2+(2a+1)α+a2+3a=-α-2a-2,即α2+(2a+2)α+a2+5a+2=0.
同理:β2+(2a+2)β+a2+5a+2=0.
即方程x2+(2a+2)x+a2+5a+2=0在(?∞,?
]上有两个不相等的实根.
设h(x)=x2+(2a+2)x+a2+5a+2,则
,解得:?
≤a<?
. (5分)
综上所述:a∈[?
,?
)∪[?
,0).
2a+1 |
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3 |
2 |
故 a=-6(舍去),或a=-1;
当?
2a+1 |
2 |
3 |
2 |
故a=0(舍去)或a=-3.
综上得:a的取值为:a=-1或a=-3. (5分)
(Ⅱ) 若f(x)在[α,β]上递增,则满足:(1)?
2a+1 |
2 |
|
即方程f(x)=x在[?
2a+1 |
2 |
方程可化为x2+2ax+a2+3a=0,设g(x)=x2+2ax+a2+3a,
则
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若f(x)在[α,β]上递减,则满足:
(1)?
2a+1 |
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由
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即β=-α-2a-2.
∴α2+(2a+1)α+a2+3a=-α-2a-2,即α2+(2a+2)α+a2+5a+2=0.
同理:β2+(2a+2)β+a2+5a+2=0.
即方程x2+(2a+2)x+a2+5a+2=0在(?∞,?
2a+1 |
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设h(x)=x2+(2a+2)x+a2+5a+2,则
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综上所述:a∈[?
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