设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值为0,求a的值;(II)若f(x

设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值为0,求a的值;(II)若f(x)在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=... 设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(I)若f(x)在[0,2]上的最大值为0,求a的值;(II)若f(x)在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f(x),α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范围. 展开
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Crazy_djoh
2015-01-04 · TA获得超过133个赞
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(Ⅰ) 当?
2a+1
2
≤1
,即:a≥?
3
2
时,f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0
故 a=-6(舍去),或a=-1;
?
2a+1
2
>1
,即:a<?
3
2
时,f(x)max=f(0)=a2+3a=0
故a=0(舍去)或a=-3.
综上得:a的取值为:a=-1或a=-3. (5分)
(Ⅱ) 若f(x)在[α,β]上递增,则满足:(1)?
2a+1
2
≤α
;(2)
f(α)=α
f(β)=β

即方程f(x)=x在[?
2a+1
2
,+∞)上有两个不相等的实根.
方程可化为x2+2ax+a2+3a=0,设g(x)=x2+2ax+a2+3a,
?
2a+1
2
<?a
△>0
g(?
2a+1
2
)≥0
,解得:?
1
12
≤a<0
.     (5分)
若f(x)在[α,β]上递减,则满足:
(1)?
2a+1
2
≥β
;(2)
f(α)=β
f(β)=α

α2+(2a+1)α+a2+3a=β
β2+(2a+1)β+a2+3a=α
得,两式相减得(α-β)(α+β)+(2a+1)(α-β)=β-α,即α+β+2a+1=-1.
即β=-α-2a-2.
∴α2+(2a+1)α+a2+3a=-α-2a-2,即α2+(2a+2)α+a2+5a+2=0.
同理:β2+(2a+2)β+a2+5a+2=0.
即方程x2+(2a+2)x+a2+5a+2=0在(?∞,?
2a+1
2
]
上有两个不相等的实根.
设h(x)=x2+(2a+2)x+a2+5a+2,则
?
2a+1
2
>?a?1
△>0
h(?
2a+1
2
)≥0
,解得:?
5
12
≤a<?
1
3
.    (5分)
综上所述:a∈[?
5
12
,?
1
3
)∪[?
1
12
,0)
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