Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝?23，满足Sn2+2Sn+1=anSn（n≥2）．（I）计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝?23，满足Sn2+2Sn+1=anSn（n≥2）．（I）计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式；（II）并用数学归纳法证明．

Answer 1

（I）由题设S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）
S₁=a₁=-

2

3

，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，∴

1

S2

=

2

3

-2，∴S₂=-

3

4

．
同理可求得 S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
（II）猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=a₁=-

2

3

，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-

K+1

K+2

，则当n=k+1时，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2，∴SK+1+

1

SK+1

＝ak+1?2，
∴SK+1+

1

SK+1

＝SK+1?SK?2，∴

1

SK+1

=

K+1

K+2

-2=

?K?3

K+2

，
∴S_K+1=-

K+2

K+3

，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．