Question

怎么证明ln(1+x)与x为等价无穷小量？

Answer 1

lim(x→0) ln(1+x)/x

=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)

=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]

由两个重要极限知lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e

所以原式=lne=1，所以ln(1+x)和x是等价无穷小

扩展资料：

常用等价无穷小：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

12、ln(1+x)~x (x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)

15、loga(1+x)~x/lna(x→0)

Answer 2

∵lim(x-->0)[ln(1+x)]/x
=lim(x-->0)1/(1+x) 【罗比达法则】
=1
∴x-->0时，
ln(1+x)与为等价x无穷小量.