Question

已知函数f（x）=ax^3-bx^2+（2-b）x+1（a＞0）在x=x1处取极大值，x=x2处去极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2。

若z=a+2b，求z的取值范围。实在不会，拜托各位喽。

Answer 1

求出导数
在导函数值为0处利用条件即可

1）f’(x）=3ax^2-2bx+2-b
f’(x)=0时，有两跟x1和x2，0<x1<1<x2
因为x1为极大值，x2为极小值，所以在（负无穷，x1）或（x2，正无穷和）上f（x）为单减，在（x1，x2）上f（x）为单增。
所以f’(x)在（负无穷，x1）或（x2，正无穷和）上大于零，在（x1，x2）上小于零。
因为0<x1<1<x2，所以f’(x）的图像开口向上，所以a>0 ；

因为导函数两根为正，所以两根之和大于零，即-2b/3a大于零
因为a大于零，所以b小于零
由图像知，f’（2)大于零
f’(2)=12a+3b+2>0 ， b>-4a-2/3
因为a大于零，所以b大于-4a-2/3的最小值 即b>-2/3
所以b∈（-2/3，0） 2b∈（-4/3，0）
Z=a+2b，以a为横坐标Z为纵坐标建立直角坐标系，你画个图，2b为直线在Z轴上的截距
截距的范围为（-4/3，0），定义域a∈（0，正无穷）
所以值域Z∈（-4/3，0）