Question

高等数学问题，不定积分，我搞不懂这个最后的算法。

Answer 1

积分是微分的反过程，请试着对结果进行微分，就会发现问题。

追问

我后来想了一下，是这样吗？凑微分法里面有复合函数，而第一个复合函数是u=x²，刚好对其平方得到得到x4满足了那个基本积分公式，后一个满足了ln的基本积分公式是吗

追答

是的。 第一个的分子是对x2的微分； 第二个的分子式对x4的微分。

追问

就是在凑微分法里面就把复合函数代替了那个基本积分公式里的x了，是吗

追答

可以这么理解的，u=x2; u=x4.
再看看复合函数，加深印象

Answer 2

arctanx的导数是 1/(1+x^2)
所以 dx/(1+x^2)积分就是arctanx，这里用的是du/(1+u^2)=arctanu的公式：
xdx/(1+x^4)=(1/2)dx^2/[1+(x^2)^2]=(1/2)arctanx^2
因为x^3dx=(1/4)d(1+x^4) , 所以这里用的是du/(1+u)=ln|1+u|的积分公式：
x^3dx/(1+x^4)=(1/4)d(1+x^4)/(1+x^4)=(1/4)ln|1+x^4|

Answer 3

前者是
∫ 1/(x^4+1)d(1/2*x^2)=1/2*∫ 1/(t^2+1)dt (t=x^2换元）
arctanx的导数是1/(x^2+1）

后者是
∫ 1/(x^4+1)d(1/4*x^4)=1/4* ∫ 1/(t+1)dt (t=x^4换元）
用的是ln（x+1）的导数是1/(x+1)