Question

f(x)=sinx的五阶麦克劳林公式怎么写，求大神解答

Answer 1

f(x)=sinx的五阶麦克劳林公式：f（x）=x-x^3/6+x^5/120+o（x^5）。

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质。

若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和。

扩展资料：

常用的麦克劳林公式：

1、e^x=1+x+x^2/2+…+（x^n）/n!+o（x^n）。

2、sinx=x-（x^3）/3!+（x^5）/5!+…+（-1）^n*（x^（2*n+1））/（2*n+1）！+o（x^（2*n+1））。

3、cosx=1-（x^2）/2+（x^4）/4!+…+（-1）^n*（x^2*n）/（2*n）!+o（x^2*n）。

4、ln（1+x）=x-（x^2）/2+（x^3）/3+…+（-1）^n*（x^（n+1））/（n+1）+o（x^n+1）。

5、1/（1-x）=1+x+x^2+x^3+…+x^n+o(x^n）。

6、（1+x）^α=1+α*x+α*（α-1）/2！*x^2+…+α*（α-1）*…*（α-n+1）/n!*x^n+o（x^n）。

参考资料来源：百度百科-麦克劳林公式

Answer 2

f(x)=sinx的五阶麦克劳林公式：f（x）=x-x^3/6+x^5/120+o（x^5）。

f（x）=sinx的n阶麦克劳林公式是f（x）=sinx在x=0处的泰勒展开式，而sin（x）的偶次导数在x=0处的值是0，所以只有奇数次导数非零。至于最后的余项，也一定是sin（x）的奇数次导数。所以令n=2m就代表了2m+1次精度。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

以上内容参考：百度百科-泰勒公式

Answer 3

五阶指的是展开到5次方
所以直接写成f（x）=x+x^3/3!+o(x^3)写成o(x^4)也可以

追问

那个余项具体该怎么写

追答

写成高阶无穷小的皮亚诺余项一般就可以了，非要写开的话那就写成拉格朗日余项就是了

追问

拉格朗日余项怎么写？

追答

x^4/4·sin(kesai+（n+1)π/2)

追问

书上为什么这么写，没搞懂，求解

追答

哦，前面我只写到了三次方。。。我自己还说要写到5次方。。。还有些符号打错了

写成皮亚诺余项结果应该是
f(x)=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^5)或者是f(x)=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)
写成拉格朗日余项就是
f(x)=x-x^3/3!+x^5/5!+x^6/6！·sin(kesai+（5+1)π/2)=x-x^3/3!+x^5/5!+x^6/6！·sin(kesai+3π）
或者是x-x^3/3!+x^5/5!+x^7/7！·sin(kesai+7π/2），其中kesai介于0和x之间
至于你那本书上写法其实是一样，只是把sin(kesai+7π/2）化简成了-cos(kesai),结果就变成了
f(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-cos(kesai)x^7/7！
,你那书里面的m=3,seta·x=kesai,所以其实一样的。我说的,seta和kesai是希腊字母懂？
因为书里面的0<seta<1,所以kesai介于0和x之间与seta·x介于0和x之间是等价的