Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），
设解析式为y=a（x-1）²+4（a＜0）
又抛物线经过点N（2，3），
所以3=a（2-1）²+4，
解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
得A（-1，0）B（3，0）；
令x=0，得y=3，
所以C（0，3）．

（2）证明：直线y=kx+t经过C、M两点，
所以

t＝3 k+t＝4

即k=1，t=3，
直线解析式为y=x+3．
令y=0，得x=-3，
故D（-3，0），即OD=3，又OC=3，
∴在直角三角形COD中，根据勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=3

2

．
连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F．
设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，
则

?m+n＝0 2m+n＝3

，
解得m=1，n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3，
所以AN=3

2

，
所以DC=AN．
因此四边形CDAN是平行四边形．

（3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，
设P（1，u）其中u＞0，
则PA是圆的半径且PA²=u²+2²过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与