Question

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F 1 ，F 2 ， | F 1 F 2 |=2

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F 1 ，F 2 ， | F 1 F 2 |=2 13 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，（1）求这两曲线方程；（2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求 P F 1 ? P F 2 的值．

Answer 1

（1）由题意知，半焦距c= 13 ，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4， 离心率之比为 3 7 = 13 a 13 a-4 ， ∴a=7， ∴椭圆的短半轴等于 49-13 =6，双曲线虚半轴的长为 13-9 =2， ∴椭圆和双曲线的方程分别为： x 2 49 + y 2 36 =1 和 x 2 9 - y 2 4 =1 ． （2）由椭圆的定义得：PF 1 +PF 2 =2a=14， 由双曲线的定义得：PF 1 -PF 2 =6， ∴PF 1 =10，PF 2 =4， 又F 1 F 2 =2 13 ，三角形F 1 PF 2 中，利用余弦定理得： (2 13 ) 2 =100+16-80cos∠F 1 PF 2 ， ∴cos∠F 1 PF 2 = 4 5 ． 则 P F 1 ? P F 2 = | P F 1 |?| P F 2 | cos∠F 1 PF 2 =10×4× 4 5 =32．