Question

已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切。（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）若AB是轨迹C的动

已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切。（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ。

Answer 1

（1）解：依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上， 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是 。 （2）证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2， ， 由 ，可得 ， ∴ ， ， 抛物线的方程为 ，求导得 ， 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 ， ∴ 所以，AQ⊥BQ。