Question

已知函数f（x）=e x -x （e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P

已知函数f（x）=e x -x （e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x| 1 2 ≤x≤2}且M∩P≠?，求实数a的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且S n =∫ t n [f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{b n }，使得b 1 +b 2 +…b n =S n ；若存在，请求出数列{b n }的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=e x -1                              　　　　　　　　　　　　　　   由f′（x）=0得x=0 当x＞0时f′（x）＞0．当x＜0时，f′（x）＜0 ∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减 ∴f（x） min =f（0）=1                  （2）∵M∩P≠?，∴ f(x)＞ax在区间[ 1 2 ，2] 有解 由f（x）＞ax得e x -x＞ax 即 a＜ e x x -1在[ 1 2 ，2] 上有解           　　　　　　　 令   g(x)= e x x -1，  x∈[ 1 2 ，2] ∴ g′(x)= (x-1) e x x 2 ∴ g(x)在[ 1 2 ，1] 上减，在[1，2]上增 又 g( 1 2 )=2 e -1，g(2)= e 2 2 -1 ，且 g(2)＞g( 1 2 ) ∴ g(x) max =g(2)= e 2 2 -1 ∴ a＜ e 2 2 -1                                                　　　　　　　　　　　　　 （3）设存在等比数列{b n }，b 1 +b 2 +…+b n =S n ∵S n =∫ t n [f（x）+x]dx=e n -e t ∴b 1 =e-e t          　　　　　　　　　　　  n≥2时b n =S n -S n-1 =（e-1）e n-1 当t=0时b n =（e-1）e n-1 ，数{b n }为等比数列 t≠0时 b 2 b 1 ≠ b 3 b 2 ，则数{b n }不是等比数列 ∴当t=0时，存在满足条件的数b n =（e-1）e n-1 满足题意