Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +（a+6）x+1是R上的单调函数，则a的取值范围是（　　） A．-3≤a≤6 B．-3

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +（a+6）x+1是R上的单调函数，则a的取值范围是（　　） A．-3≤a≤6 B．-3＜a＜6 C．a＜-3或a＞6 D．a≤-3或a≥6

Answer 1

由f（x）=x 3 +ax 2 +（a+6）x+1，得：f ′ （x）=3x 2 +2ax+a+6． 因为函数f（x）=x 3 +ax 2 +（a+6）x+1是R上的单调函数， 所以其导函数f ′ （x）=3x 2 +2ax+a+6在R上恒大于等于0或恒小于等于0， 而导函数是二次函数，且图象开口向上，所以其对应的一元二次方程的判别式恒小于等于0， 即△=（2a） 2 -4×3×（a+6）≤0， 即a 2 -3a-18≤0． 解得：-3＜a＜6． 所以a的取值范围是-3＜a＜6． 故选B．