Question

已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间与极值．（2）若函数f（x）在区间（1，+∞

已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间与极值．（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝

1

x

+a?2a2x=?

2a2x2?ax?1

x

=-

(2ax+1)(ax?1)

x

①当a=0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）上单调递增，函数无极值；
②当a＞0，令f′（x）=0，得x1＝?

1

2a

，x2＝

1

a

，且x₁＜0＜x₂，当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(

1

a

，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＝

1

a

时f（x）有极小值为f(

1

a

)＝ln

1

a

；
③当a＜0，令f′（x）=0，得x1＝?

1

2a

，x2＝

1

a

，且x₂＜0＜x₁，当x∈（0，?

1

2a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(?

1

2a

，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＝?

1

2a

时，f（x）有极小值f(?

1

2a

)＝ln(?

1

2a

)?

3

4

．
（2）由（1）知当a＞0，时f（x）在（

1

a

，+∞）上单调递减，∴

1

a

≤1，得a≥1，当a＜0时，f（x）在（?

1

2a

，+∞）上单调递减，∴?

1

2a

≤1，得?

1

2

≤a＜0，
综上得：a的取值范围为[?

1

2

，0）∪[1，+∞）．