Question

设f（x）在区间[a，b]上具有二阶导数，且f（a）=f（b）=0，f′（a）f′（b）＞0，证明：存在ξ∈（a，b）

设f（x）在区间[a，b]上具有二阶导数，且f（a）=f（b）=0，f′（a）f′（b）＞0，证明：存在ξ∈（a，b）和η∈（a，b），使f（ξ）=0及f″（η）=0．

Answer 1

证明：
由于f′（a）f′（b）＞0，因此不妨假设f′（a）＞0，f′（b）＞0（f′（a）＜0，f′（b）＜0的情况用类似方法也可得证）
由导函数定义可得：

lim

x→a+

f(x)

x?a

＞0，

lim

x→b?

f(x)

x?b

＞0，
根据极限的保号性，可知?x₁∈（a，a+δ₁）和x₂∈（b-δ₂，b）
使得f（x₁）＞0，f（x₂）＜0，其中δ₁，δ₂为充分小的正数，
显然x₁＜x₂，在区间[x₁，x₂]上应用介值定理得：
?ξ∈（x₁，x₂）?（a，b），使得f（ξ）=0．
再由f（a）=f（ξ）=f（b）=0及罗尔定理可知：
?η₁∈（a，ξ）和η₂∈（ξ，b），使
f′（η₁）=f′（η₂）=0；
在[η₁，η₂]区间上，对f′（x）运用罗尔定理，可得η∈（η₁，η_2）?（a，b）
使f″（η）=0．
证毕．