Question

（2004?天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）

（2004?天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明PA∥平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接AC、AC交BD于O．连接EO
∵底面ABCD是正方形∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB．
（2）解：作EF⊥DC交CD于F．连接BF，设正方形ABCD的边长为a．
∵PD⊥底面ABCD∴PD⊥DC∴EF∥PD，F为DC的中点
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，BF＝

BC2+CF2

＝

a2+( a 2 )2

＝

5

2

a
∵EF＝

1

2

PD＝

a

2

∴在Rt△EFB中tanEBF＝

EF

BF

＝

a 2

5 2 a

＝

5

5

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

5

5