Question

设f（x）为连续函数，（1）求初值问题y′+ay＝f(x)y|x＝0＝0的解f（x），其中a是正常数；（2）若|f（x）|

设f（x）为连续函数，（1）求初值问题y′+ay＝f(x)y|x＝0＝0的解f（x），其中a是正常数；（2）若|f（x）|≤k（k为常数），证明：当x≥0时，有|y（x）|≤ka(1?e?ax)．

Answer 1

（1）【解法一】
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
所以 y′+ay=f（x） 的通解为
y=e-∫adx（∫f（x）e∫adxdx+C）=e^-ax （∫f（x）e^axdx+C）=e^-ax （F（x）+C），
其中，F（x） 是 f（x）e^ax 的任一原函数．
由　y（0）=0 可得，C=-F（0）．
所以 y（x）=e^-ax （F（x）-F（0））=e^-ax

∫

x 0

f(t)eatdt．
【解法二】
在方程 y′+ay=f（x） 两边同时乘以 e^ax，可得
 e^axy′+ae^ax y=e^axf（x），
即 （e^ax y）′=e^axf（x）．
两边积分可得，
 eaxy ＝

∫

x 0

eatf(t)dt，
即：y（x）=e^-ax

∫

x 0

f(t)eatdt．
（2）|y（x）|=e^-ax|

∫

x 0

f(t)eatdt |
≤e^-ax

∫

x 0

|f(t)|eatdt
≤ke^-ax

∫

x 0

eatdt（∵|f（x）|≤k）
≤

k

a

e^-ax（e^ax-1）
≤

k

a

（1-e^-ax）．