Question

将函数f（x）=arctan1?2x1+2x展开成x的幂级数，并求级数∞n＝0(?1)n2n+1的和

将函数f（x）=arctan1?2x1+2x展开成x的幂级数，并求级数∞n＝0(?1)n2n+1的和．

Answer 1

因为：f′(x)＝?

2

1+4x2

＝?2

∞

n＝0

(?1)n4nx2n，x∈(?

1

2

，

1

2

)，
而f（0）=

π

4

，
所以：
f(x)＝f(0)+

∫

x 0

f′(t)dt＝

π

4

?2

∫

x 0

[

∞

n＝0

(?1)n4nt2n]dt=

π

4

?2

∞

n＝0

(?1)n4n

2n+1

x2n+1，x∈(?

1

2

，

1

2

)，
由于级数

∞

n＝0

(?1)n

2n+1

收敛，函数f（x）在x＝

1

2

处连续，
所以：f(x)＝

π

4

?2

∞

n＝0

(?1)n4n

2n+1

x2n+1，x∈(?

1

2

，

1

2

]，
令x＝

1

2

，得：f(

1

2

)＝

π

4

?2

∞

n＝0

[

(?1)4n

2n+1

?

1

22n+1

]＝

π

4

?

∞

n＝0

(?1)n

2n+1

，
再由：f(

1

2

)＝0，得：

∞

n＝0

(?1)n

2n+1

＝

π

4

?f(

1

2

)＝

π

4

．