Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}对任意n∈N*，均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1成立．①求证：cnbn=2（n≥2）；②求c1+c2+…+c2014．

Answer 1

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2（∵d＞0）∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
又∵b₂=a₂=3，a₅=b₃=9，
所以等比数列{b_n}的公比q＝

b3

b2

＝3，
∴bn＝b2qn?2＝3n?1
（2）①证明：∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

＝an+1
∴当n≥2时，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn?1

bn?1

＝an
两式相减，得

cn

bn

＝an+1?an＝2(n≥2)．
②由①得cn＝2bn＝2×3n?1(n≥2)
当n=1时，

c1

b1

＝a2，∴c₁=3不满足上式  
∴c1+c2+…+c2014＝3+2×31+2×32+…+2×32013＝3+

6?6×32013

1?3

＝3?3+32014＝32014