Question

如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．（1）若∠B=30°，问

如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．（1）若∠B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；（2）求证：PD?PO=PC?PB；（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的长．

Answer 1

（1）解：相等．理由如下：
连接AO，
∵PA是半圆的切线，
∴∠OAP=90°
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠AOP=2∠B=60°，
∴∠APO=30°，
∴∠B=∠APO，
∴AB=AP．

（2）证明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，
∴PA²=PD?PO
∵PA是半圆的切线，
∴PA²=PC?PB，
∴PD?PO=PC?PB．

（3）解：∵BD：DC=4：1，且BC=10，
∴BD=8，CD=2，
∴OD=3
∵OA²=OD?OP，
∴25=3×OP，
∴OP=

25

3

，
∴PC=

25

3

?5＝

10

3

．