如图,在直角坐标平面中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴的负半轴上,cos∠ABC=45,OB=4.(1)
如图,在直角坐标平面中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴的负半轴上,cos∠ABC=45,OB=4.(1)求B,C两点的坐标;(2)求证:△AOC∽△CO...
如图,在直角坐标平面中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴的负半轴上,cos∠ABC=45,OB=4.(1)求B,C两点的坐标;(2)求证:△AOC∽△COB;(3)求经过点A,B,C三点的抛物线解析式.
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(1)∵点B在x轴的正半轴上,OB=4,
∴B(4,0),
∵cos∠ABC=
,
∴
=
=
,解得BC=5,
在Rt△OBC中,
∵OB2+OC2=BC2,即42+OC2=52,解得x=3,
∴C(0,-3);
(2)证明:∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCO=90°
又∵∠OBC+∠BCO=90°
∴∠ACO=∠OBC
又∵∠AOC=∠BOC=90°
∴△AOC∽△COB;
(3)∵△AOC∽△COB
∴
=
,
∴AO=
=
∴A(
,O)
∵A(
,O),B(4,0),
∴设经过点A,B,C三点的抛物线解析式为y=a(x-
)(x-4),
把点C(0,-3)代入得,9a=-3,解得a=-
,
故经过点A,B,C三点的抛物线解析式为:y=-
x2+
x-3.
∴B(4,0),
∵cos∠ABC=
4 |
5 |
∴
OB |
BC |
4 |
BC |
4 |
5 |
在Rt△OBC中,
∵OB2+OC2=BC2,即42+OC2=52,解得x=3,
∴C(0,-3);
(2)证明:∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCO=90°
又∵∠OBC+∠BCO=90°
∴∠ACO=∠OBC
又∵∠AOC=∠BOC=90°
∴△AOC∽△COB;
(3)∵△AOC∽△COB
∴
AO |
CO |
CO |
BO |
∴AO=
CO2 |
BO |
9 |
4 |
∴A(
9 |
4 |
∵A(
9 |
4 |
∴设经过点A,B,C三点的抛物线解析式为y=a(x-
9 |
4 |
把点C(0,-3)代入得,9a=-3,解得a=-
1 |
3 |
故经过点A,B,C三点的抛物线解析式为:y=-
1 |
3 |
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