Question

如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F．（1）在图中与△

如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F．（1）在图中与△BOF相似的三角形有______个；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值．

Answer 1

（1）解：与△BOF相似的三角形有△BAD；△EAD；△BEC共3个．
故答案为：3；

（2）证明：如图，延长AD与BC相交于G，
∵点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，
∴∠CBE=∠GAC，
在△ACG和△BCE中
∵

∠GAC=∠CBE AC=BC ∠ACG=∠BCE

∴△ACG≌△BCE（ASA）
∴BE=AG，而AG=2AD，
∴BE=2AD．

（3）解：如图，连接OD交AC于点H，
则OD⊥AC，可得：DH∥BC，
故△DHE∽△BCE，
故

DE

BE

=

DH

BC

设BC=2x，则OD=OB=

2

x，
故OH=x，DH=（

2

-1）x，
则

DE

BE

=

2 -1

2

．