Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（II）当?2+3≤k≤0时，求折痕长的最大值；（Ⅲ）当-2≤k≤-1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|2-1），试求t的最大值．

Answer 1

（1）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y＝

1

2

②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有k_OG?k=-1?

1

a

?k＝?1?a=-k
故G点坐标为G（-k，1），
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标
（线段OG的中点）为M(?

k

2

，

1

2

)
折痕所在的直线方程y?

1

2

＝k(x+

k

2

)，即y＝kx+

k2

2

+

1

2

由①②得折痕所在的直线方程为：y＝kx+

k2

2

+

1

2

（2）当k=0时，折痕的长为2；
当?2+

3

≤k＜0时，折痕直线交BC于点P(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y轴于Q(0，

k2+1

2

)
∵|PQ|2＝22+[

k2+1

2

?(2k+

k2

2

+

1

2

)]2＝4+4k2≤4+4(7?4

3

)＝32?16

3

∴折痕长度的最大值为

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