Question

已知函数f（x）=lnx+a（2-x）（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x-3）2+y2=1

已知函数f（x）=lnx+a（2-x）（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x-3）2+y2=1相切，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域{x|x＞0}，f′（x）=

1

x

-a，
∴f′（1）=1-a  
∴在（1，f（1））处的切线为：y-a=（1-a）（x-1），即（1-a）x-y-1+2a=0，
又已知圆的圆心为（3，0），半径为1，∴

|3(1?a)?1+2a|

(1?a)2+1

=1，
解得a=1；                                                           …（7分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域{x|x＞0}，f′（x）=

1

x

-a，
当a≤0时，f′（x）=

1

x

-a＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞0，令f′（x）＞0解得0＜x＜

1

a

，令f′（x）＜0解得x＞

1

a

，
∴函数f（x）在区间（0，

1

a

）上单调递增，在区间（

1

a

，+∞）上单调递减              …（12分）
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0，函数f（x）在区间（0，

1

a

）上单调递增，在区间（

1

a

，+∞）上单调递减  …（13分）