已知函数f(x)=lnx+a(2-x)(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆(x-3)2+y2=1
已知函数f(x)=lnx+a(2-x)(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆(x-3)2+y2=1相切,求a的值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调...
已知函数f(x)=lnx+a(2-x)(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆(x-3)2+y2=1相切,求a的值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
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(Ⅰ)函数f(x)的定义域{x|x>0},f′(x)=
-a,
∴f′(1)=1-a
∴在(1,f(1))处的切线为:y-a=(1-a)(x-1),即(1-a)x-y-1+2a=0,
又已知圆的圆心为(3,0),半径为1,∴
=1,
解得a=1; …(7分)
(Ⅱ)函数f(x)的定义域{x|x>0},f′(x)=
-a,
当a≤0时,f′(x)=
-a>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
当a>0,令f′(x)>0解得0<x<
,令f′(x)<0解得x>
,
∴函数f(x)在区间(0,
)上单调递增,在区间(
,+∞)上单调递减 …(12分)
综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0,函数f(x)在区间(0,
)上单调递增,在区间(
,+∞)上单调递减 …(13分)
1 |
x |
∴f′(1)=1-a
∴在(1,f(1))处的切线为:y-a=(1-a)(x-1),即(1-a)x-y-1+2a=0,
又已知圆的圆心为(3,0),半径为1,∴
|3(1?a)?1+2a| | ||
|
解得a=1; …(7分)
(Ⅱ)函数f(x)的定义域{x|x>0},f′(x)=
1 |
x |
当a≤0时,f′(x)=
1 |
x |
当a>0,令f′(x)>0解得0<x<
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a |
1 |
a |
∴函数f(x)在区间(0,
1 |
a |
1 |
a |
综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0,函数f(x)在区间(0,
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a |
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a |
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