Question

有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面．（1）要使玻璃

有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面．（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度?1时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求?2/?1（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．

Answer 1

解答：解：（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解18-1-1所示，图中C₁为左端球面的球心．
由正弦定理、折射定律和小角度近似得：

. AF1 ?R1

R1

＝

sinr1

sin(i1?r1)

≈

r1

i1?r1

＝

1

(i1/r1)?1

≈

1

n?1

…①
即 

. AF1

R1

?1＝

1

n?1

…②
光线PF₁射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C₂一定在端面顶点B的左方，C₂B等于球面的半径R₂，如图复解18-1-1．仿照上面对左端球面上折射的关系可得：

. BF1

R2

?1＝

1

n?1

…③
又有   

.

BF1

＝L?

.

AF1

… ④
由②、③、④式并代入数值可得：R₂=5cm…⑤
即右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
（2）设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过C₁，②过A，如图复解18-1-2所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求M点的位置．在△AC₁M中

. AM

sin(π??1)

＝

. AC

sin?1

＝

R1

sin(?1??′1)

… ⑥
又  nsin?′₁=sin?₁ …⑦
已知?₁，?′₁均为小角度，则有

. AM

?1

≈

R1

?1(1? 1 n )

…⑧
与②式比较可知，

.

AM

≈

.

AF1

，即M位于过F₁垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从M射出C₂的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向．此方向与主光轴的夹角即为?₂，由图复18-1-2可得：

?1

?2

＝

. C1F1

. C2F1

＝

. AF1 ?R1

. BF1 ?R2

…⑨
由②、③式可得：

. AF1 ?R1

. BF1 ?R2

＝

R1

R2

则

?2

?1

＝

R1

R2

＝2… ⑩
答：（1）玻璃棒另一端应磨成右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
（2）

Φ1

Φ2

为2．