Question

判断广义积分的收敛性，第一副图是题目，第二幅图是我的答案。答案是发散，求问为什么。Ps：这个积分是

判断广义积分的收敛性，第一副图是题目，第二幅图是我的答案。答案是发散，求问为什么。Ps：这个积分是奇函数，可以根据定积分的性质然后它直接等于零吗？

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Answer 1

这个积分确实是发散的。
把积分区间分成两部分(-∞，0]&[0，+∞)，在每一个区间上，广义积分都是发散的，所以合起来是发散的。
注意这里的广义积分中，x趋向于+∞跟-∞是独立进行的；按照楼主的想法，其实是求以下的极限：
lim (x→+∞) ∫[-x,x] x/[根号(1+x^2)] dx，这样x趋向于两边无穷大是同时进行，从而得出结果为0的。
这样的计算成为Cauchy意义下的广义积分主值Principle Value。.

追问

所以求得两边都趋于无穷就可以知道广义积分发散，不用再计算下去了吗？

追答

不能这么算的，毕竟+∞-(+∞)是没意义的运算。

应该直接根据Cauchy比较判别法，分开两个区间来讨论广义积分的敛散性。

Answer 2

你怎么知道积分上下限是相反数？

追答

正无穷与负无穷真的是相反数嘛？

所以并不一定对称。想通这点就好说了

奇函数确实有那个性质，但是要建立在对称的前提下

追问

谢谢指点。求这题的解答过程。谢谢啦

追答

按照你的方法是正确的，最后一步改一下就行了，因为并不等于0

追问

两个完全相同的东西相减为什么不是零呢？

追答

不是，因为无穷大减无穷大不一定是0啊，两个无穷大不一定相等啊

应该说是你换行的地方错了

追问

对，那这两个相减得什么？貌似也没办法通分用洛必达法则

追答

所以无法判断，直接发散

也许你可以较真一下，确实有那种可能使得他收敛。

发散就是是不收敛。包括趋于无穷大和极限不存在两种情况

请类比sinx在无穷大处极限不存在的证明

利用heine海因定理

追问

所以算到两个无穷大相减以后就没法再算下去了吗？

追答

对，如果要较真的话，你可以设上限是下限的k倍。然后证明当k等于负一时极限为0，其他情况下极限为无穷大。根据heine定理，极限不存在

确实你可以算不下去了，可以得出结论了。

Answer 3

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追问

过程呢？