证明f(x),x趋向去于x0,极限存在的充分必要条件是f(x)在x0处的左右极限都存在并且相等
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充分性:(已知左右极限存在且相等,证明极限存在)
设lim[x→x0+] f(x)=A,lim[x→x0-] f(x)=A
由,lim[x→x0+] f(x)=A
则,对于任意ε>0,存在δ1>0,当0<x-x0<δ1时,有|f(x)-A|<ε成立;
又由,lim[x→x0-] f(x)=A,
则,对于任意ε>0,存在δ2>0,当 -δ2<x-x0<0 时,有|f(x)-A|<ε成立;
取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x-x0|<δ时,
若x>x0,则0<|x-x0|<δ≤δ1成立,
若x<x0,则-δ2≤-δ<x-x0<0成立,
综上可得:无论哪种情况,均有|f(x)-A|<ε成立,因此lim[x→x0] f(x)=A
必要性:(已知极限存在,证明左右极限存在并相等)
由lim[x→x0] f(x)=A,
则,任取ε>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε成立
此时有:0<x-x0<δ时,
|f(x)-A|<ε成立
所以,lim[x→x0+] f(x)=A
同理,-δ<x-x0<0 时
|f(x)-A|<ε成立
所以,lim[x→x0-] f(x)=A
综上可得,lim[x→x0+] f(x)=lim[x→x0-] f(x)=A
设lim[x→x0+] f(x)=A,lim[x→x0-] f(x)=A
由,lim[x→x0+] f(x)=A
则,对于任意ε>0,存在δ1>0,当0<x-x0<δ1时,有|f(x)-A|<ε成立;
又由,lim[x→x0-] f(x)=A,
则,对于任意ε>0,存在δ2>0,当 -δ2<x-x0<0 时,有|f(x)-A|<ε成立;
取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x-x0|<δ时,
若x>x0,则0<|x-x0|<δ≤δ1成立,
若x<x0,则-δ2≤-δ<x-x0<0成立,
综上可得:无论哪种情况,均有|f(x)-A|<ε成立,因此lim[x→x0] f(x)=A
必要性:(已知极限存在,证明左右极限存在并相等)
由lim[x→x0] f(x)=A,
则,任取ε>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε成立
此时有:0<x-x0<δ时,
|f(x)-A|<ε成立
所以,lim[x→x0+] f(x)=A
同理,-δ<x-x0<0 时
|f(x)-A|<ε成立
所以,lim[x→x0-] f(x)=A
综上可得,lim[x→x0+] f(x)=lim[x→x0-] f(x)=A
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