Question

已知随机变量X服从在区间（0，1）上的均匀分布，Y=2X+1，求Y的概率密度函数

已知随机变量X服从在区间（0，1）上的均匀分布，Y=2X+1，求Y的概率密度函数．

Answer 1

Y的概率密度函数为当1＜y＜3时，P(y)=1/2，y取其他值时，P(y)=0。

解：令Y的分布函数为FY(y)。

因为Y=2X+1，则

FY(y)=F(Y≤y)=F(2X+1≤y)=F(X≤(y-1)/2)，

当(y-1)/2≤0时，即y≤1时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=0，

当0＜(y-1)/2＜1时，即1＜y＜3时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=∫(0,(y-1)/2)dx=(y-1)/2，

当(y-1)/2≥1时，即y≥3时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=1。

所以Y的概率密度函数为，

当y≤1时，P(y)=(0)'=0

当1＜y＜3时，P(y)=((y-1)/2)'=1/2

当y≥3时，P(y)=(1)'=0

因此随机变量Y服从(1，3)上的均匀分布。

扩展资料：

1、均匀分布的性质

（1）均匀分布的概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，a＜x＜b

（2）均匀分布分分布函数F(x)为

当x＜a，F(x)=0，

当a≤x≤b，F(x)=(x-a)/(b-a)，

当x＞b，F(x)=1。

2、概率密度函数f(x)的性质

（1）f(x)≥0，

（2）∫(-∞,+∞)f(x)dx=1，

（3）∫(a,b)f(x)dx=P(a≤x≤b)。

参考资料来源：百度百科-概率密度函数

参考资料来源：百度百科-均匀分布

Answer 2

由题，设Y的概率密度为f_Y（y），分布函数为F_Y（y），
由于X在区间（0，1）上的均匀分布
∴Y=2X+1∈（1，3）
∴对于任意的y∈（1，3），有
F_Y（y）=P{Y≤y}=P{2X+1≤y}=P{X≤

1

2

(y?1)}=FX(

1

2

(y?1))
∴fY(y)＝fX(

1

2

(y?1))?

1

2

=

1 2 ，1＜y＜3 0 ，其它

∴f_Y（y）=

1 2 ，1＜y＜3 0 ，其它

Answer 3

直接用书上的公式法，答案如图所示