Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2） ∴对称轴为x=1 又最小值为1 设f（x）=a（x﹣1） 2 +1 又f（0）=3 ∴a=2 ∴f（x）=2（x﹣1） 2 +1=2x 2 ﹣4x+3 （2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调， 则2a＜1＜a+1 ∴ （3）由已知2x 2 ﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立 化简得m＜x 2 ﹣3x+1 设g（x）=x 2 ﹣3x+1 则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减 ∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1 ∴m＜﹣1