Question

已知 sinθ+cosθ= 1+ 3 2 ，θ∈(0， π 4 ) （1）求θ的值；（2）求函

已知 sinθ+cosθ= 1+ 3 2 ，θ∈(0， π 4 ) （1）求θ的值；（2）求函数f（x）=sin（x-θ）+cosx在x∈[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

（1）由 sinθ+cosθ= 1+ 3 2 ， 两边平方得： 1+sin2θ= 4+2 3 4 ，解得 sin2θ= 3 2 又 θ∈(0， π 4 ) ，所以 2θ∈(0， π 2 ) ，此时 2θ= π 3 ， θ= π 6 （2） f(x)=sin(x-θ)+cosx=sin(x- π 6 )+cosx= 3 2 sinx- 1 2 cosx+cosx=sin(x+ π 6 ) 由 - π 2 +2kπ≤x+ π 6 ≤ π 2 +2kπ，k∈Z ， 解得 - 2π 3 +2kπ≤x≤ π 3 +2kπ 而x∈[0，π]，所以 x∈[0， π 3 ] ， 故所求的单调增区间为 [0， π 3 ]