Question

当齐次线性方程组的方程的个数少于未知量的个数时，此齐次线性方程组一定有非零解．______．（判断对错

当齐次线性方程组的方程的个数少于未知量的个数时，此齐次线性方程组一定有非零解．______．（判断对错）

Answer 1

错误。系数矩阵的行列式不等于0时，齐次方程只有0解，非齐次方程组有唯一解。系数矩阵的行列式等于0时，齐次方程有无穷多解，非齐次方程组未必有解，但是有解的话必定是无穷多解。

求解步骤：

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束。

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

Answer 2

设齐次线性方程组A_n×mX_m×1=0，其中n＜m
∴r（A）≤n＜m
∴基础解系所含解向量的个数为m-n＞0个
即此齐次线性方程组一定有非零解．