Question

已知数列{an}满足：a1=1，且n为奇数时，an+1=2an，n为偶数时，an+1=an+1，n∈N*．（1）求a2，a3并证明数

已知数列{an}满足：a1=1，且n为奇数时，an+1=2an，n为偶数时，an+1=an+1，n∈N*．（1）求a2，a3并证明数列{a2n-1+1}为等比数列；（2）求数列{an}的前2n+1项和S2n+1．

Answer 1

（1）a₂=2a₁=2，a₃=a₂+1=3，
∵a_2n+1=a_2n+1=2a_2n-1+1，
∴a_2n+1+1=2（a_2n-1+1），
∴数列{a_2n-1+1}为公比是2的等比数列；
（2）S_2n+1=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+a_2n+1+a_2n+1
=3a₁+3a₃+…+3a_2n-1+a_2n+1
由（1）知，
∴a2n?1+1＝2n，
∴a2n?1＝2n?1
∴S2n+1＝3[(2?1)+(22?1)+…+(2n?1）]+a2n+1＝3(2

1?2n

1?2

?n)+2n+1?1=2ⁿ⁺³-3n-7