Question

已知函数f（x+1）是奇函数，f（x-1）是偶函数，且f（0）=2，则f（2012）=______

已知函数f（x+1）是奇函数，f（x-1）是偶函数，且f（0）=2，则f（2012）=______．

Answer 1

这个是我高中时做过的题目。。。
f
（x+1）是奇函数
推出
f(x+1)=-f(-x+1)
即f(x)=-f(-x+2)
f
（x-1）是偶函数
推出
f(x-1)=f(-x-1)
即f(x)=f(-x-2)
由以上两式推出-f(-x+2)=f(-x-2)即f(x)=-f(x-4)
也即f(x-4)=-f(x-8)
故f(x)=f(x-8),8为函数的一个周期
2012=251*8+4
所以f(2012)=f(4)=-f(0)=-2

Answer 2

解:函数f
(x+1)是奇函数，有
f(-x+1)=-
f(x+1)。即f(x+1)=
-
f(-x+1)
f
(x-1)是偶函数，有f(-x-1)=f(x-1)
利用上述关系有:
f(x)=f[(x-1)+1]=
-f[-(x-1)+1]=
-
f[-x+2]
=
-
f[-(x-3)-1]=-
f[(x-3)-1]=-
f[x-4]
=
-f[(x-5)+1]=-
{-
f(-(x-5)+1)}=f(-x+6)
=f[-(x-7)-1]=f[x-7)-1]=f(x-8)
可见，8是函数的周期
f(2012)=f(251×8+4)=f(4)
由于f
(x-1)是偶函数，所以f(4)=f(5-1)=f(-5-1)=f(-6)=f(-6+8)=f(2)=2

Answer 3

因为函数f（x+1）为奇函数
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t）
∵函数f（x-1）是偶函数
∴f（x-1）=f（-x-1），令x-1=t，则可得，f（t）=f（-t-2）
∴f（-t-2）=-f（-t+2）
令-t-2=m，则f（m）=-f（m+4），f（m+8）=f（m）即函数以8为周期的周期函数
∴f（2012）=f（4）=-f（0）=-2
故答案为：-2