Question

如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是菱形

如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是菱形．

Answer 1

证明：连接BD，AC．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴AC=BD，
∵EF为△ABD的中位线，
∴EF=

1

2

BD，EF∥BD，
又GH为△BCD的中位线，
∴GH=

1

2

BD，GH∥BD，
同理FG为△ABC的中位线，
∴FG=

1

2

AC，FG∥AC，
EH为△ACD的中位线，
∴EH=

1

2

AC，EH∥AC，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．

Answer 2

链接AC和BD可以证得EH平行BD，FG平行于BD，则EH平行于FG,同理EF平行于GH，所以可证EFGH为平行四边形，又因为矩形，EG垂直于FH，所以得证