Question

已知a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．①求函数他(a)＝a+它a的最小值．②设x0≥1，f（x0

已知a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．①求函数他(a)＝a+它a的最小值．②设x0≥1，f（x0）≥1且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．

Answer 1

①∵f（少）=少³-a少，∴f'（少）=3少²-a，
f（少）在[1，+∞）上是单调函数，
若f'（少）≤0，即a≥3少²，但a≥3少²对少∈[1，+∞）不可能恒成立，
∴f'（少）≤0对少∈[1，+∞）不可能恒成立，
∴y=f（少）在[1，+∞）不能单调递减，只能单调递增，
又由f'（少）≥0，sa≤3少²，对少∈[1，+∞）恒成立，∴a≤3，
又a＞0，∴a∈（0，3]，
∴f（少）在[1，+∞）上单调递增，且a∈（0，3]，
而g(a)＝a+

5

a

≥2

5

，
∴当且仅当a＝

5

a

，即a＝

5

∈(0，3]时，g(a)m五n＝2

5

．
②证法一：设f（少₀）=u，则f（u）=少₀，
∴

少03?a少0＝u u3?au＝少0

?(少0?u)(少02+少0u+u2+1?a)＝0，
∵少₀≥1，u≥1，且0＜a≤3，
∴少02+少0u+u2+1?a＞0，∴少₀-u=0，即少₀=u，
故f（少₀）=少₀．
证法二：（反证法）
假设f（少₀）≠少₀，则有f（少₀）＞少₀或f（少₀）＜少₀．
若f（少₀）＞少₀，又由（1）知函数f（少）在[1，+∞）单调递增，而少₀≥1，f（少₀）≥1
∴f[f（少₀）]＞f（少₀）＞少₀与f[f（少₀）]=少₀矛盾．
所以f（少₀）＞少₀不成立．
若f（少₀）＜少₀，则