Question

已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(?2，0)，F2(2，0)，一个顶点为A（0，-1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ

已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(?2，0)，F2(2，0)，一个顶点为A（0，-1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C两焦点坐标分别为F1(?

2

，0)，F2(

2

，0)，一个顶点为A（0，-1）．
∴可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)．
∴c＝

2

，b=1，
∴a²=b²+c²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2＝1．
（Ⅱ）存在这样的直线l．
设直线l的方程为y=kx+m，联立

y＝kx+m x2 3 +y2＝1

化为（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∵△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）得3k²-m²+1＞0…①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点为P（x₀，y₀），
则x1+x2＝

?6km

1+3k2

，x1x2＝

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