Question

已知函数f(x)＝13x3?bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求b的值；（2）若直线y=2x和此函数的图象

已知函数f(x)＝13x3?bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求b的值；（2）若直线y=2x和此函数的图象相切，求a的值；（3）若当x∈[1，3]时，f(x)?a2＞23恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，得f（x）导函数为：f′（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0即2²-2b?2+2=0?b＝

3

2

（2）由（1）得函数表达式为：f(x)＝

1

3

x3?

3

2

x2+2x+a
它的导数为f′（x）=x²-3x+2
设直线y=2x和函数的图象的切点为P（x₀，y₀）
由导数的几何意义得f′（x₀）=x₀²-3x₀+2=2
∴x₀=0或3
代入直线y=2x方程得：y₀=0或6
∴切点为（0，0）或（3，6）
①将切点（0，0）代入函数表达式，得f（0）=a=0
②将切点（3，6）代入函数表达式，得f（3）=

1

3

?3³-

3

2

?3²+2?3+a=6，得a＝

9

2

综上所述，得a=0或a＝

9

2

（3）当x∈[1，3]时，f(x)?a2＞

2

3

恒成立，
即

1

3

x3?

3

2

x2+2x+a?a2＞

2

3

在x∈[1，3]时恒成立
变量分离得：

1

3

x3?

3

2

x2+2x?

2

3

＞a2?a在x∈[1，3]时恒成立
说明

1

3

x3?

3

2

x2+2x?

2

3

在[1，3]上的最小值大于a²-a
记F（x）=

1

3

x3?

3

2

x2+2x?

2

3

，求得F′（x）=x²-3x+2
当x∈（1，2）时，F′（x）＜0，所以F（x）为（1，2）上的减函数
当x∈（2，3）时，F′（x）＞0，所以F（x）为（2，3）上的增函数
∴F（x）在[1，3]上的最小值为F（2）=

1

3

?23?

3

2

?22+2?2?

2

3

=0
∴a²-a＜0，解之得0＜a＜1