Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθsin2θ

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθsin2θ，直线l的参数方程为x＝tcosαy＝1+tsinα（t为参数，0≤a＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

（1）曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

，即为（ρsinθ）²=4ρcosθ，
化为直角坐标方程为：y²=4x，表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线；
（2）直线l的参数方程为

x＝tcosα y＝1+tsinα

（t为参数，0≤a＜π）．
化为普通方程为：y=tanα?x+1，（0≤α＜π），
由于直线l经过点（1，0），则tanα=-1．
即直线l：y=1-x，代入抛物线方程：y²=4x，消去y，得x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
则|AB|=

1+(?1)2

|x₁-x₂|=

2

?

(x1+x2)2?4x1x2

=

2

?

62?4

=8．