Question

试求曲面z=1axy上被圆柱面x2+y2=a2所截下的有限部分的曲面面积（a＞0）

试求曲面z=1axy上被圆柱面x2+y2=a2所截下的有限部分的曲面面积（a＞0）．

Answer 1

由题意，曲面与柱面的交线在xoy面的投影为x²+y²=a²所
设所截的曲面为∑，则∑在xoy面的投影为
D={（x，y）|x²+y²≤a²}
∴所求曲面的面积为A＝

∫∫

dS=

∫∫

D

1+zx2+zy2

dxdy
=

∫∫

D

1+ y2 a2 + x2 a2

dxdy=

1

a

∫

2π 0

dθ

∫

a 0

a2+r2

rdr
=

π

a

[

2

3

(a2+r2)

3

2

]

a 0

=(2

2

?1)πa2