Question

椭圆x2 /a2+ y2 /b2= 1的右焦点F（c,0） 关于直线y=bx/c的对称点Q在椭圆上

椭圆x2 /a2+ y2 /b2= 1的右焦点F（c,0） 关于直线y=bx/c的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是？

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Answer 1

因y=bx/c垂直平分FQ，故直线FQ斜率为-c/b。且已知点F(c，0)，故直线FQ方程为
y=-cx/b+(c^2)/b
与直线y=bx/c交点为M(c^3/[b^2+c^2], bc^2/[b^2+c^2])
因Q与F关于点M对称，所以Q坐标（[c^3-cb^2]/[b^2+c^2], 2bc^2/[b^2+c^2]）
因b^2+c^2=a^2, c=ea
所以[c^3-cb^2]/[b^2+c^2]=c[c^2-(a^2-c^2)]/(a^2)=c[(2c^2/a^2)-1]=(2e^2-1)c
2bc^2/[b^2+c^2]=2be^2
又Q在椭圆上，所以
(2e^2-1)^2*c^2/(a^2)+(2b)^2*e^4/(b^2)=1
即(2e^2-1)^2*e^2+4e^4=1
令t=e^2（1<t<0）,则
t（2t-1）^2+4t^2-1=0
4t^3+t-1=0(尝试可知t=1/2是一个根)
(t-1/2)(4t^2+2t+2)=0
因4t^2+2t+2>0
所以t=1/2
e=sqrt(2)/2

Answer 2

∵x1+x2=-
b
a
，x1x2=-
c
a

x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=
b2+2ac
a2

e=
c
a
=
1
2
∴a=2c
b2=a2-c2=3c2
所以x12+x22=
3c2+4c2
4c2
＝
7
4
＜2
所以在圆内