不定积分dx/根号下(1+e^x)求过程
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设y=√(1+e^x)->y^2=1+e^x->2ydy=e^xdx,dx=(2y/e^x)dy=2ydy/(y^2-1)
∴∫dx/√(1+ex)=∫[2ydy/(y^2-1)]/y=2∫dy/(y^2-1)=∫[1/(y-1)-1/(y+1)]dy
=ln|y-1|-ln|y+1|+C
=ln|√(1+e^x)-1|-ln|√(1+e^x)+1|+C
=ln[√(1+e^x)-1]-ln[√(1+e^x)+1]+C
=ln{[√(1+e^x)-1]/[√(1+e^x)+1]}+C
=ln{1+2[1-√(1+e^x)]/e^x}+C
∴∫dx/√(1+ex)=∫[2ydy/(y^2-1)]/y=2∫dy/(y^2-1)=∫[1/(y-1)-1/(y+1)]dy
=ln|y-1|-ln|y+1|+C
=ln|√(1+e^x)-1|-ln|√(1+e^x)+1|+C
=ln[√(1+e^x)-1]-ln[√(1+e^x)+1]+C
=ln{[√(1+e^x)-1]/[√(1+e^x)+1]}+C
=ln{1+2[1-√(1+e^x)]/e^x}+C
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设t=根号下(1+e^x)
x=ln(t^2-1),dx=2tdt/(t^2-1)
原式=∫2dt/(t^2-1)=ln|(t-1)/(t+1)|+C\
再把t换回x即可
x=ln(t^2-1),dx=2tdt/(t^2-1)
原式=∫2dt/(t^2-1)=ln|(t-1)/(t+1)|+C\
再把t换回x即可
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